في الرياضيات والمطلقية

في الرياضيات  والمطلقية
تمهيد :إن تعامل الإنسان مع الأشياء المحيطة به ، ليس دائما ،تعاملا كيفيا ،كأن يبين حالاتها وطبائعها ف يصف الماء يالبرودة أو بالحرارة والأشجار بالبعد أو القرب ....بل يعبر عن ما يحيط به باستخدام لغة كمية ، فيعبر عن درجة الحرارة للماء والمسافة بالمتر أو وحدات قياسية أبسط لتحديد المسافات ..تسمى هذه اللغة بلغة الكم أو الرياضيات ...
المشكل : مامفهوم الرياضيات وهل نشأ ت من التجربة الحسية أم هي مباديء عقلية أولية ؟
لماذا توصف العلوم الرياضية بالعلوم الصحيحة ؟ أليس ذلك لأن موضوعها مجرد ؟ أم لأن منهجها استنتاجي لزومي له منطلقات دقيقة صحيحة بذاتها ؟ أم الأمر يتعلق بنتائجها الدقيقة وهو بيت القصيد ؟
ألا يمكن أن توجد حدود لهذه الصحة ؟ أي بمعنى ...ألا يمكن أن نلمس الطابع النسبي التقريبي للعلوم الرياضية ؟

1 – مفهوم الرياضيات : إذا اعتبرت الرياضيات كعلم ، فانها لاتعرف إلا بعــلم المقادير أو الكم
- أما من حيث موضوعها : فيمكن القول أنها جملة المفاهيم العقلية المجردة التي تستخدم للتعبير عن المقادير أو ما يقبل الزيادة أو النقصان كالعدد او الشكل الهندسي
إذن فهي علم الكم المتصل – الهندسة- والكم المنفصل – الحساب والجبر –
س/ إذا كانت موضوعات الرياضيات ، مجردات .هل هي مستقلة عن الواقع الحسي في نشأتها ؟
2 – أصل المفاهيم الرياضية :
أ- الاصل العقلي : يرى العقليون من أمثال أفلاطون وديكارت أن الرياضيات لم تنشأ إلا من تلك المباديء العقلية القبلية –الفطرية –
اعتبر افلاطون ، المعطيات الأولية الرياضية مثل النقط والخطوط ...والاعداد موجودة من قبل اتصال الانسان بالواقع ..فهي في عالم المثل ، حيث تتميز بالثبات والمطلقية ..فافلاطون يعرف النقطة بأنها كل ما ليس له طول أو عرض ..وهو الأمر الذي لا يماثل النقطة الواقعية التى لها مكان وأبعاد من طول وعرض ...
في حين اعتبرها ديكارت فطرية في النفس ....
س/ إذا اعتبرنا هذة المفاهيم فطرية .فكيف نفسر حاجتنا إلى ربط العدد بأشياء حسية لإدراك معناه ؟ أليس بداية العد كانت بالأصابع والحصى ؟
ب- الأصل التجريبي : يرى الحسيون من أمثال هيوم – لوك- ج.س.مل ...أن الكائنات الرياضية –المفاهيم- لم تنشأ إلا من تعامل الإنسان بالأشياء الحسية وهو شان كل معارفه ...
وقد أستدل هؤلاء بحجة أن العقل يولد كصفحة بيضاء ...وكذا أعتبار النقطة الرياضية الهندسية خلاصة رؤيتنا للنجوم والدائرة من رؤية قرص القمر والشكل الأسطواني من رؤيتنا لجذع الشجر ...
ليس هذا فحسب ، بل جرد الإنسان العدد من استخدام الحصى والأصابع في حساب ممتلكاته ...الخ
س/ إذا أعتبرنا الأمر كذلك ، فبم نفسر بعض الحدود التى لا نجد لها مثيلا في الواقع الحسي..كالعدد التخيلي أو اللانهائي ....الخ ؟
- الخلاصة : إن الرياضيات هي عالم العقل والتجريد ، عالم تكونت وحداته بالتدريج بدءا من التجربة الحسية وصولا الى المفاهيم المجردة ولذلك تسمى الرياضيات بأعلى مراتب التجريد واعتبرها افلاطون اعلى مراتب العلوم
س/ وضعت الرياضيات في هذه المرتبة لنتائجها الصحيحة الدقيقة . لكن ما الذي يضمن لنا هذه الصحة والدقة ؟ طبيعة موضوعها المجرد .أم منهجها ومنطلقاته ؟
الرياضيات كنسق مجرد وضمان الصحة : إن التفكير الرياضي تفكير نسقي أى مجموعة المباديء والمنطلقات المنتظمة المترابطة لتشكل كلا موحدا يتميز بالدقة ويفهم هذ ا النسق ودقته بالآـي :
1- من حيث المنهج والمنطلقات : أ – المنطلقات : هي المباديء التي يستند إليها الاستدلال الرياضي للبرهنة والاستنتاج من بديهيات كقضايا عامة واضحة بذاتها تفرض نغسها على العقل مثل الكل أكبر من الجزء .ومسلمات كقضايا خاصة يضعها الرياضي لأجل البرهنة على قضايا أخرى وهي مصادرات وفرضيات يمكن البرهنة عليها مثل مسلمات إقليدس – مثل الخطوط المتوازية .والسطح المستو ...وأخيرا التعريفات التي هي قضايا خاصة توضع لتبيين خواص المفاهيم والعلاقات لاستخدامها في البرهنة على مسائل ما...مثلا تعريف الدائرة يستخدم في البرهنة على تساوي أنصاف أقطارها ...وتعريف عدد الصفر في علملية الضرب بأنه عد ماص يساعد على استنتاج أن أي عدد مهما كان عندما يضرب في الصفر فإن الحاصل صفرا ..الخ
ب- المنهج وأساليبه : يعرف الإستدلا الرياضي بالاستنتاج البرهاني الذي يتميز بالإبداع والحرية أي الاختيار بمبرر أن الرياضي قد يستخدم الاستنتاج التحليلي المباشر مثل الانتقال من معادلة س+4= 6الى س=2 وذلك باستخدام مبدأ أو منطلق رياضي .وقد يستخدم التحليل غير المباشر كأن يثبت خطأ نقيض القضية لإثبات صحة القضية وهو البرهان بالخلف .أما الأكثر إبداعا وهو الاستنتاج التركيبي بحيث ينتقل الذهن من مباديء الى نظريات أومن قواعد خاصة الى نتائج عامة كأن ينتقل من معادلتين من درجة 1 الى معادلة من درجة 2 أومن قاعدة تخص المثلث الى أي مضلع كان وبهذا يثبت الإبداع الرياضي
2-من حيث الموضوع : لقد جاء في التعريف أن موضوع الرياضيات هو المفاهيم المجردة ومنه فلقد عبر أينشتاين عن ذلك باعتبار أن الحقائق كلما كانت أبعد عن الواقع كلما كانت أكثر دقة وصحة لأنها لا تعبر عن شيء بعينه متغير زائل
3 – ما يستخلص من هذا كله هو، إن نتائج الرياضيات نتائج دقيقة يقينية لطبيعة موضوعها المجرد ومنهجها الإستنتاجي الذي ترتبط فيه النتائج بالمباديء وفق منطق عدم التناقض فينشأ النسق المجرد الذي تلزم فيه النتائج عن المباديء استنتاجا فإن تغيرت المباديء تغيرت النتائج وكلها صحيحة حسب أنساقها
س/ هل هذه الدقة تمنع وجود بعض الحدود والمآخذ التي تجعلها نسبية غير مطلقة ؟
حدود الرياضيات وقيمتها :
1- حدودها ومآخذها بارتباطها بالمجال الحسي : إن يقين الرياضيات يفقد دقته ومطلقيته عندما يرتبط بموضوعات واقعية حسية ..فيتسرب التقريب والنسبية إليه ومن ذلك العدد – بي – فإنه نظريا دقيق لكنه عمليا عندما نقسم 22على 7 فان الحاصل ليس 3.14بدقة
لعل أحسن دليل على مآخذ الرياضيات الكلاسيكية هو اعتبارها أن المباديء مطلقة ولأن منهجها صارم ونتائجها مطلقة حيث ظهرت أنساق جديدة ترفض المطلقية وتتبنى النسبية منها الهندسة اللاأقليدية

مج ز مثلث 180د الإنحناء صفر السطح مستو هندسة إقليدس
مج ز مثلث أكبرمن // // أكبر من صفر // محدب // ريمان
// // // أقل من // //أقل من صفر // مقعر //لوباتشيفسكي
نلاحظ في الجدول أن أن الرياضي يفترض منطلقات وعلى أساسها يستنتج نتائج تكون لازمة عنه وفق النسق المحدد .أما خارج النسق فهي لا تتسم بالصحة أو الدقة وهذا ما يسمى بالمنهج الفرضي الإستنتاجي أو الأكسيومي أو البوستيلاتي ..
مجرد فرضيات أو مسلمات
2-قيمتها في استخدامها في شتى العلوم : إن الطابع الفرضي الإستنتاجي المتميز بالنسبية التى لا تنفي الدقة واليقين جعل الرياضيات لغة العلم الحديث التجريبي بحيث أعترف اينشتاين مؤسس النسبية بجميل اللا إقليديين على اكتشافه أي النسبية والاحتمال مما يجعل العلم في تطور وتقدم وقد عبر برغسون عن قيمتها بقوله : لم يكن لأي علم أن ينشأ إلا بعد أن استطاعت الرياضيات إيقاعها في شباكها وأصطيادها
س/ هل هذا يعنى ، أن قيمة الرياضيات صارت مشكوك فيها ؟
1-قيمة الرياضيات ومزاياها في سياقها ونسقها :هذا يدل على أن كل هذه الهندسات صحيحة في نسقها كما قال بوانكاريه الفرنسي الرياضي
أي : معيار صحة الرياضيات يكون بنسقها الإفتراضي وتماشي نتائجها مع مبادئها الموضوعة حيث لم تعد المباديء مطلقة تمثل طابو بل